Βράζουμε το κοτόπουλο σε αλατισμένο νερό και αφού κρυώσει βγάζουμε τα κόκαλα και τις πέτσες και κόβουμε σε μικρά κομματάκια το κρέας. Σοτάρουμε σε τηγάνι τα ψιλοκομμένα κρεμμύδια, ρίχνουμε το κοτόπουλο και συνεχίζουμε το σοτάρισμα. Αποσύρουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε τα αυγά, χτυπημένα μαζί με το πιπέρι, λίγη παρμεζάνα και λίγη κεφαλογραβιέρα. Ανακατεύουμε καλά και τοποθετούμε στη φωτιά για λίγο ανακατεύοντας. Προσθέτουμε αλάτι, αν χρειάζεται και λίγο ακόμη από τα τυριά. Σ’ αυτό το σημείο, αν θέλουμε τη γέμιση περισσότερο υγρή, μπορούμε να προσθέσουμε και την κρέμα γάλακτος. Αφήνουμε τη γέμιση να κρυώσει και συνεχίζουμε με το φύλλο. Ρίχνουμε στο μίξερ το νερό, το αλάτι, το καλαμποκέλαιο, το ξύδι, το αλεύρι λίγο-λίγο και ζυμώνουμε μια απαλή ζύμη. Δουλεύουμε λίγο τη ζύμη στον πάγκο, την χτυπάμε για λίγο (για να γίνει πιο αφράτη) και την χωρίζουμε σε 2 κομμάτια. Ρίχνουμε λίγο αλεύρι στον πάγκο και ανοίγουμε το ένα κομμάτι της ζύμης σε ένα φύλλο . Αλείφουμε όλο το φύλλο πολύ καλά με το βούτυρο και διπλώνουμε προς τη μέση την δεξιά και αριστερή πλευρά. Βουτυρώνουμε και διπλώνουμε προς τη μέση 4 φορές, σχηματίζοντας ένα φάκελο, πατώντας τις άκρες της ζύμης γύρω-γύρω για να εγκλωβίσουμε το βούτυρο. Βάζουμε στην κατάψυξη ώσπου να ανοίξουμε το δεύτερο φύλλο με την ίδια διαδικασία. Κατόπιν βγάζουμε από την κατάψυξη και ανοίγουμε και πάλι το φύλλο σε μέγεθος λίγο μεγαλύτερο από το ταψί μας, προσέχοντας να μην βγαίνει από τις άκρες το βούτυρο. Τοποθετούμε σε βουτυρωμένο ταψί, απλώνουμε την κρύα γέμιση και ρίχνουμε και τα υπόλοιπα τυριά. Ανοίγουμε και το άλλο φύλλο με την ίδια διαδικασία το τοποθετούμε πάνω στη γέμιση, κλείνουμε τις άκρες χαράζουμε, βουτυρώνουμε και ψεκάζουμε με λίγο νεράκι. Ψήνουμε στους 250° C για 15-20 λεπτά μέχρι να ροδίσει και μετά στους 200° C για άλλα 15-20 λεπτά.